江门市2012年普通高中高三第一次模拟数学试卷(文科)

⑴产量 为何值时，利润最大？
⑵产量 为何值时，每件产品的平均利润最大？

⒛（本小题满分14分）
已知椭圆 的中心在原点，长轴在 轴上，经过点 ，离心率 ．
⑴求椭圆 的方程；
⑵设直线 ： （ ）与椭圆 在第一象限内相交于点 ，记 ，试证明：对 ， ．

21（本小题满分14分）
已知函数 ， 是常数．
⑴求函数 的图象在点 处的切线 的方程，并证明函数 （ ）的图象在直线 的下方；
⑵讨论函数 零点的个数．
 
文科数学评分参考

一、选择题    CBDCA  ADBDC
二、填空题    ⒒   ⒓   ⒔ 或 （不计顺序，全对5分，对任意1个给3分；本次测试不计较学生将“或”写成“和”，但请教师在讲评中强调两者不能混淆）
⒕ （或相等的数值）     ⒖ （或等价方程）
三、解答题
⒗⑴由余弦定理得 ……2分， ……3分；
因为 ，所以 ……4分，四边形 的面积
 ……6分，   ……8分．
⑵由正弦定理得 ……10分，所以
 ……11分；                      ……12分．

⒘⑴由所给的数据估计该年广东省文科考生成绩在 内的平均分为
 
 (分)……6分（列式3分，计算2分，取近似值1分；列式但无计算而写 扣1分；列式但无计算而写 扣2分）
⑵设另外4名考生分别为 、 、 、 ，则基本事件有：
 ……10分，共10种……11分，考生 被录取的事件有 ，共4种……13分，所以考生 被录取的概率是 ……14分．（“基本事件”与“考生 被录取的事件”两部分独立给分）

⒙⑴依题意，四棱柱的底面是矩形，侧面 与底面垂直，过 作底面垂线的垂足是 的中点，四棱柱的体积 ……2分， ……3分，
 ……5分， ……6分
⑵连接 ，依题意 是正三角形……8分，所以 ……9分，
又 面 ……10分， 面 ，所以 ……11分，
因为 ，所以 面 ……12分，
因为 面 ，面 面 ……14分．

⒚⑴销售收入 ……1分
利润 （ ，不影响赋分）……3分
 ……4分，所以产量 时，利润 最大……5 分
⑵每件产品的平均利润 ……7分
 ……8分，解 得 ……9分，
 时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减……10分。因为 ，且 ，所以产量 时，每件产品的平均利润 最大……11 分
答：（略）……12分．

⒛⑴依题意，设椭圆 的方程为 （ ）……1分，则
 ……3分，解得 ， ……5分，
椭圆 的方程为 ……6分．
⑵解 ……7分，得 ……8分， ……9分，所以 ……10分
 ……13分，                       ……14分．

21.⑴ ， ……1分，所以切线 的方程为
 ，即 ……2分．
作 ， ……3分，则
 ，解 得 ……4分．
 
 
↗ 最大值 ↘
……5分
所以 且 ， ， ，即函数 （ ）的图像在直线 的下方……6分．
⑵ 有零点，即 有解， ……7分
 ，解 得 ……8分，类似⑴列表讨论知 ，即若 有零点，则 ；若 ，则 无零点……9分。
若 ， ，由⑴知 有且仅有一个零点 ……10分
若 ， 单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较知 有且仅有一个零点（或：直线 与曲线 有一个交点）……11分
若 ，解 得 ，类似⑴列表讨论知， 在 处取最大值……12分， ，由幂函数与对数函数单调性比较知，当 充分大时 ，即 在单调递减区间 有且仅有一个零点……13分；又因为 ，所以 在单调递增区间 有且仅有一个零点，综上所述，当 时， 无零点；当 或 时， 有且仅有一个零点；当 时， 有两个零点……14分．
 

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