上海市十三校2012届高三数学第二次联考试题（文）及答案

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上海十三校2012届高三第二次联考
数 学 试 题（文）

注意事项：请将答案和解答过程写在答题纸上！
一、填空题（每小题4分，共56分）
1．不等式 的解集是                  。
2． =               。
3．若 则 =           。
4．已知复数 为纯虚数，则实数a=        。
5．从10名女生和5名男生中选出6名组成课外学习小组，则选出4女2男组成课外学习小组的概率是                。（精确到0.01）
6．按如下图所示的流程图运算，若输入x=8，则输出k=        。
 
7．若函数 的反函数是 ，且 ，则满足 的实数a=      。
8．若直线 与圆 交于M，N两点，且M，N关于直线 对称，则|MN|=       。
9．已知P为 所在平面内一点，且满足 ，则 的面积与 的面积之比为         。
10．若存在实数 满足 ，则实数a的取值范围是       。
11．长方体ABCD—A1B1C1D1的各顶点都在以O为球心的球面上，且AB=AD=1， ，则A、B两点的球面距离为            。
12．若函数 的零点都在 内，则直角坐标平面内满足条件的点P（a，b）组成区域的面积为          。

13．设集合 ，如果 满足：对任意 ，都存在 ，使得 ，那么称 为集合A的一个聚点，则在下列集合中：
 （1） （2） （3） （4）
 以0为聚点的集合有         （写出所有你认为正确结论的序号）
14．已知等差数列 （公差不为零）和等差数列 ，如果关于x的方程
  有解，那么以下九个方程 ，
  中，无解的方程最多有       个。
二、选择题（每小题4分，共16分）
15．下列函数中，值域为R的函数是   （    ）
 A．   B．
 C．   D．
16．若空间三条直线a、b、c满足 ，则直线   （    ）
 A．一定平行  B．一定相交
 C．一定是异面直线  D．一定垂直
17．若数列 的前n项和为 ，则下列命题：
 （1）若数列 是递增数列，则数列 也是递增数列；
 （2）数列 是递增数列的充要条件是数列 的各项均为正数；
 （3）若 是等差数列（公差 ），则 的充要条件是
 （4）若 是等比数列，则 的充要条件是
 其中，正确命题的个数是   （    ）
 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
18．若双曲线 的左、右顶点分别为A、B，点P是第一象限内双曲线上的点。记 且 ，则   （    ）
 A．  B．  C．  D． 

三、解答题（本大题共5小题，满分78分）
19．（本题满分14分）
 在 中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c。设向量 且 。求 的取值范围。
 

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分。
 如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，点M、N分别是面对角线A1B和B1D1的中点。
 （1）求证： ；
 （2）求三棱锥A1—MND1的体积。

21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题7分，第2小题9分。
 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益。现
准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加
而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%。
 （1）请分析函数 是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；
 （2）若该公司采用模型函数 作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值。
 

22．（本题满分16分）本大题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分。
 设数列 的前n项和为 ，且满足
 （1）求数列 的通项公式；
 （2）在数列 的第两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列 ； 两项之间插入n个数，使这 个数构成等差数列，求 的值。
 （3）对于（2）中的数列 ，若 ，求m的值，并求 

23．（本题满分18分）本大题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分。
 现代城市大多是棋盘式布局（如北京道路几乎都是东西和南北走向）。在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图）。在直角坐标平面内，我们定义 两点间的“直角距离”为：
 
 （1）已知 ，求A、B两点的距离 。
 （2）求到定点M（1，2）的“直角距离”为2的点的轨迹方程。
并写出所有满足条件的“格点”的坐标（格点是指横、纵坐标均
为整数的点）。
 （3）求到两定点F1、F2的“直角距离”和为定值 的动点轨迹方程，并在直角坐标系内作出该动点的轨迹。（在以下三个条件中任选一个做答，多做不计分，基保选择条件①，满分4分；条件②满分6分；条件③，满分8分）
 ① ；
 ②
 ③