北京市四中高二年级上学期期末测验数学试卷（理科）

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    （1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
    （2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）。

【试题答案】
卷（I）
  1-5 CDADB  6-10 CBACA  11-12 DB
  13.    14.    15.    16.  ；0
  17. 解：（1）取 的中点G，则DG∥AB，EG∥AC，所以平面GDE∥平面ABC，所以DE∥平面ABC。
    （2）连结AF，则AF⊥平面 。
     ，所以 ⊥平面AEF。
    （3）以A为坐标原点，分别以AB，AC， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 ，则 为平面AEF的法向量。
    又 ，设平面 的法向量为 ，则
     。
    解得 ，取 ，则 ，从而
     ，即二面角 是 。
  18. 解：（1）由题意得 ，得 。
    结合 ，解得 ， 。
    所以，椭圆的方程为 。
    （2）由 ，得 。
    设 ，则 ，
    依题意，OM⊥ON，
    易知，四边形 为平行四边形，所以 ，
    因为 ，
    所以 。
    即 ，
    解得 。
卷（II）
1-3 ACB
  4.  ；  5.     6. （2，2）；
  7. 证明：（1）设PE中点为H，连结FH、GH。
    则因为FH∥BE，GH∥OE，所以平面FGH∥平面BOE，所以FG∥平面BOE。
    （2）以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 ，则F（4，0，3）。
    设点M的坐标为（ ），则平面BOE的法向量为 。
    又因为 ，解得 。
    在平面直角坐标系 中，△OAB内部区域可表示为不等式组 ，所以点M在△OAB内部。
    点M坐标是 。
  8. 解：（1）由 得 ，
    当 得 ，∴G点的坐标为（4， ），
    法一： ，与抛物线联立，
    △=0，解得 ；
    法二：由椭圆方程得 点的坐标为（ ，0），
    根据抛物线光学性质，∴  即 ，即椭圆和抛物线的方程分别为 和 ；
    （2）∵过A作 轴的垂线与抛物线只有一个交点P，
∴以∠PAB为直角的Rt△ABP只有一个，
同理，以∠PBA为直角的Rt△ABP只有一个。
若以∠APB为直角，设P点坐标为（ ），A、B两点的坐标分别为 和（ ，0）， ，
    关于 的二次方程有一大于等于1的解，∴ 有两解，
    即以∠APB为直角的Rt△ABP有两个，
    因此抛物线上存在四个点使得△ABP为直角三角形。

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