北京市四中高二年级上学期期末测验数学试卷（理科）

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北京市四中2011-2012学年上学期高二年级期末测验数学试卷（理科）
（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）
试卷分为两卷，卷（I）100分，卷（II）50分

卷（I）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分
  1. 抛物线 的焦点坐标为
    A. （1，0） B. （0，1） C. （2，0） D. （0，2）
  2. 若 为异面直线，直线 ，则 与 的位置关系是
    A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 异面或相交
  3. 已知 ， ，且 ，则实数 的值是
    A. -2 B. 2 C.   D. 
  4. 若双曲线 的离心率为2，则 等于
    A. 2 B.   C.   D. 1
  5. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
 
    A. 2 B. 1 C.   D. 
  6. 已知△ABC的顶点B，C在椭圆 上，顶点A是椭圆的一个焦点，则椭圆的另一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是
    A.   B. 6 C.   D. 12
  7. 过点（2，4），与抛物线 有且仅有一个公共点的直线有
    A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
  8. 双曲线 的一个焦点是（0，3），那么 的值是
    A. －1 B. 1 C.   D. 
  9. 已知直线 和平面 ，在下列命题中真命题是
    A. 若 内有无数多条直线垂直于 内的一条直线，则
B. 若 内有不共线的三点到 的距离相等，则
C. 若 是异面直线， ， ，则
D. 若
  10. 过抛物线 的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p的值是
    A. 2 B. 4 C.   D. 
  11. 在正方体 中，P是侧面 内一动点，若点P到直线BC的距离与点P到直线 的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是
    A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
  12. 已知直线 与曲线 有公共点，则 的取值范围是
    A.   B. 
C.   D. 

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分
  13. 一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是________。
  14. 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（ ，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是________。
  15. 已知三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC= ，则该三棱锥外接球的表面积等于________。
  16. 已知椭圆 的两焦点为 ，点 满足 ，则 的取值范围为________，直线 与椭圆C的公共点个数是________。

三、解答题：本大题共2小题，每小题12分，共24分
  17. 已知直三棱柱 中，AB⊥AC， ，D，E，F分别为 ，BC的中点。
    （1）求证：DE∥平面ABC；
    （2）求证： ⊥平面AEF；
    （3）求二面角 的大小。
 
  18. 已知椭圆 的右焦点为 （3，0），离心率为 。
    （1）求椭圆的方程。
    （2）设直线 与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段 ， 的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，求 的值。

卷（II）
一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分
  1. 已知点P是抛物线 上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为
    A.   B. 3 C.   D. 
  2. 长方体 的8个顶点在同一球面上，且AD=2，AD= ， ，则顶点A，B间的球面距离是
    A.   B.   C.   D. 
  3. 如图，平面 ⊥平面 ， 直线 ，A，C是 内不同的两点，B，D是 内不同的两点，且A，B，C，D ，M，N分别是线段AB，CD的中点，下列判断正确的是
 
    A. 当|CD|=2|AB|时，M，N两点不可能重合
B. M，N两点可能重合，但此时直线AC与 不可能相交
C. 当AB与CD相交，直线AC平行于 时，直线BD可以与 相交
D. 当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与 平行

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分
  4. 如图，已知正方体 中，E是棱 的中点，则异面直线 与AE所成角的余弦值是_________。
 
  5. 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且 ，则C的离心率为_________。
  6. 如图，直角坐标系 所在的平面为 ，直角坐标系 （其中 轴与 轴重合）所在的平面为 ，∠ ，已知平面 内有一点P′（ ，2），则点P′在平面 内的射影P在坐标系 中的坐标为_________，已知平面 内的曲线C′的方程是 ，则曲线C′在平面 内的射影C在坐标系 中的方程是_________。
 

三、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分
  7. 如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10。
 
    （1）设G是OC的中点，证明：FG//平面BOE；
    （2）问在△ABO内是否存在一点M，使FM⊥平面BOE。若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
  8. 设 ，椭圆方程为 ，抛物线方程为 ，如图所示，过点F（0， ）作 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点 。

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