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2012年山东实验中学中考数学模拟卷及答案
命题即证 ……（8分）
24．解：（1）由P=- （x-60）2＋41知，每年只需从100万元中拿出60万元投资，即可获得最大利润41万元，
则不进行开发的5年的最大利润P1=41×5=205（万元） ……（2分）
（2）若实施规划，在前2年中，当x=50时，每年最大利润为：
P=- （50-60）2+41=40万元，前2年的利润为：40×2=80万元，扣除修路后的纯利润为：80-50×2=-20万元. ……（4分）
设在公路通车后的3年中，每年用x万元投资本地销售，而用剩下的（100-x）万元投资外地销售，则其总利润W=［- （x-60）2＋41＋（- x2＋ x＋160］×3=-3（x-30）2＋3195
当x=30时，W的最大值为3195万元，
∴5年的最大利润为3195-20=3175（万元） ……（7分）
（3）规划后5年总利润为3175万元，不实施规划方案仅为205万元，故具有很大的实施价值. ……（9分）
25．解：（1）把点F（0，1）坐标代入y=kx＋b中得b=1. ……（1分）
（2）由y= x2和y=kx＋1得 x2-kx-1=0化简得
x1=2k-2 x2=2k＋2 x1•x2=-4 ……（3分）[
（3）△M1FN1是直角三角形（F点是直角顶点）.理由如下：设直线l与y轴的交点是F1
FM12=FF12+M1F12=x12＋4 FN12=FF12＋F1N12=x22＋4
M1N12=（x1-x2）2=x12+x22-2x1x2=x12+x22+8
∴FM12+FN12=M1N12∴△M1FN1是以F点为直角顶点的直角三角形. ……（6分）
（4）符合条件的定直线m即为直线l：y=-1.
过M作MH⊥NN1于H，MN2=MH2+NH2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=（x1-x2）2+［（kx1+1）-(kx2+1)］2=（x1-x2）2+k2（x1-x2）2=(k2+1)（x1-x2）2=(k2+1)(4 ）2=16（k2+1)2
∴MN=4(k2+1)
分别取MN和M1N1的中点P，P1，
PP1= （MM1+NN1）= (y1+1+y2+1)= （y1+y2）+1= k(x1+x1)+2=2k2+2=2(k2+1) ∴PP1= MN
即线段MN的中点到直线l的距离等于MN长度的一半.
∴以MN为直径的圆与l相切. ……（10分）
24．解：（1）由P=- （x-60）2＋41知，每年只需从100万元中拿出60万元投资，即可获得最大利润41万元，
则不进行开发的5年的最大利润P1=41×5=205（万元） ……（2分）
（2）若实施规划，在前2年中，当x=50时，每年最大利润为：
P=- （50-60）2+41=40万元，前2年的利润为：40×2=80万元，扣除修路后的纯利润为：80-50×2=-20万元. ……（4分）
设在公路通车后的3年中，每年用x万元投资本地销售，而用剩下的（100-x）万元投资外地销售，则其总利润W=［- （x-60）2＋41＋（- x2＋ x＋160］×3=-3（x-30）2＋3195
当x=30时，W的最大值为3195万元，
∴5年的最大利润为3195-20=3175（万元） ……（7分）
（3）规划后5年总利润为3175万元，不实施规划方案仅为205万元，故具有很大的实施价值. ……（9分）
25．解：（1）把点F（0，1）坐标代入y=kx＋b中得b=1. ……（1分）
（2）由y= x2和y=kx＋1得 x2-kx-1=0化简得
x1=2k-2 x2=2k＋2 x1•x2=-4 ……（3分）[
（3）△M1FN1是直角三角形（F点是直角顶点）.理由如下：设直线l与y轴的交点是F1
FM12=FF12+M1F12=x12＋4 FN12=FF12＋F1N12=x22＋4
M1N12=（x1-x2）2=x12+x22-2x1x2=x12+x22+8
∴FM12+FN12=M1N12∴△M1FN1是以F点为直角顶点的直角三角形. ……（6分）
（4）符合条件的定直线m即为直线l：y=-1.
过M作MH⊥NN1于H，MN2=MH2+NH2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=（x1-x2）2+［（kx1+1）-(kx2+1)］2=（x1-x2）2+k2（x1-x2）2=(k2+1)（x1-x2）2=(k2+1)(4 ）2=16（k2+1)2
∴MN=4(k2+1)
分别取MN和M1N1的中点P，P1，
PP1= （MM1+NN1）= (y1+1+y2+1)= （y1+y2）+1= k(x1+x1)+2=2k2+2=2(k2+1) ∴PP1= MN
即线段MN的中点到直线l的距离等于MN长度的一半.
∴以MN为直径的圆与l相切. ……（10分）
