3.3.2简单的线性规划问题（一）教学设计

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一．教学目标
1.了解二元一次不等式（组）表示的平面区域和线性规划的意义．
2.了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念．
了解线性规划问题的图解法，并能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，以提高解决实际问题的能力．
二．教学重点：从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），二元一次不等式（组）表示的平面区域及简单的二元线性规划问题．
三．教学难点：准确求得线性规划问题的最优解
四．教学过程
（一）探究
在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如：
某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
（1）列表
     
（2）建立数学关系式
用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产 、 件，由已知条件可得二元一次不等式组：

（3）画平面区域（注意：在平面区域内的必须是整数点，但一般先找实数解最后转化为在实数解中寻求整数解．）
 

（4）提出新问题：
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
 设获得利润为Z万元，则z=2x+3y,求Z的最大值，

（5）尝试解答：
 
设获得利润为Z万元，则z=2x+3y,求Z的最大值

    当直线  经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点时，

截距 的值最大，即z取得最大值 ，

    解方程组    x=4
                x+2y-8=0
             得：x=4,y=2
    交点坐标为M(4,2)时，zmax=2x+3y=2×4+3×2=14

（6）获得结果：
答：甲产品生产4件，乙产品生产2件，则利润最大为14万元。

（二）新知：线性规划的有关概念：
①线性约束条件：
    不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称为线性约束条件。

②线性目标函数：
z=2x+3y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数。由于z=2x+3y又是x、y的一次解析式，所以又叫做线性目标函数

③线性规划问题：
一般的，求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x，y）  叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。其中使目标函数取得最大值或最小值 的可行解它们都叫做这个问题的最优解。
（三）变式练习：在探究中若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利2万元，问如何安排生产才能获得最大利润？
（四）巩固练习
1. 目标函数 ，将其看成直线方程时， 的意义是（    ）.
A．该直线的横截距                 B．该直线的纵截距
C．该直线的纵截距的一半的相反数   D．该直线的纵截距的两倍的相反数
2. 已知 、 满足约束条件 ，则 的最小值为（    ）.
      A． 6    B． 6     C．10      D． 10
3. 有5辆6吨汽车和4辆5吨汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为      .
4. 在如图所示的可行域内，目标函数 取得最小值的最优解有无数个，则 的一个可能值是（    ）.
A.  3   B.3      C.  1     D.1

例2：  营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元. 为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？
 
小结：
1.线性规划问题的几个基本概念
约束条件，线性约束条件，目标函数，线性目标函数，线性规划问题，可行解，可行域，最优解
2.解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；
（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行   线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解；
（4）答：作出答案。 

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