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3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域教学设计

减小字体 增大字体 作者:佚名  来源:本站整理  发布时间:2013-06-10 12:38:41
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一.教学目标
1.学生从实际问题中抽象出二元一次不等式(组),了解二元一次不等式(组)的含义及几何意义。
 
2.能画出二元一次不等式所表示的平面区域,学会用“选点法”判断不等式Ax+By+C>0和Ax+By+C<0所表示的平面区域。

3.进一步体会数形结合的思想方法,开拓数学视野。      
二.教学重点:二元一次不等式(组)表示平面区域
三.教学难点:把实际问题抽象化,二元一次不等式(组)表示平面区域
四.教学过程
(一)引例:一家银行的信贷部计划年初投入2500 万元用于企业和个人贷款,希望这笔资金至少可带来3万元的收益,其中从企业贷款中获益12﹪,从个人贷款中获益10﹪,那么,信贷部应该如何分配资金呢?
把实际问题抽象为数学问题,再把文字语言转化为符号语言.
提问:你能列出题目中所存在的不等关系吗?(学生思考并列式)


得:
(二)新知探究
1.思考:在平面直角坐标系中, 点的集合   {(x,y)|x+y-1=0}表示什么图形?
2.探究二元一次不等式(组)的解集表示的图形
一元一次不等式(组)的解集可以表示为数轴上的区间,例如, 的解集为             . 
那么,在直角坐标系内,二元一次不等式(组)的解集表示什么图形呢?
探究
3.你能研究:二元一次不等式x-y <6的解集所表示的图形吗?(怎样分析和定边界?)从特殊到一般:
(1)特殊:二元一次不等式  x-y <6 的解集所表示的图形。
在平面直角坐标系内,x-y=6表示一条直线.           
平面内所有的点被直线分成     类:
第一类:在直线           上的点;
第二类:在直线           的区域内的点;
第三类:在直线           的区域内的点.
设点 是直线x-y=6上的点,
选取点 ,使它的坐标满足不等式x-y<6,请同学们完成以下的表格,
横坐标x -3 -2 -1 0 1 2 3
点P的纵坐标
      
点A的纵坐标
      

并思考:
当点A与点P有相同的横坐标时,它们的纵坐标有什么关系?_______________
根据此说说,直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y<6有什么关系?______________直线x-y=6右下方点的坐标呢?______________
在平面直角坐标系中,以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6的_____;反过来,直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y>6.
因此,在平面直角坐标系中,不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域;二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域;直线叫做这两个区域的边界。
(2)从特殊到一般
二元一次不等式Ax + By + C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax + By + C = 0某一侧所有点组成的平面区域。(虚线表示区域不包括边界直线)
结论一:二元一次不等式表示相应直线的某一侧平面区域
二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法:
直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入Ax+By+C所得实数的符号都相同,只需在直线的同一侧取某个特殊点(x0,y0)作为测试点,根据Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线的哪一侧区域.
小诀窍:如果C≠0,可取(0,0);如果C=0,可取(1,0)或(0,1).
结论二: 直线定界,特殊点定域.

(三)例题分析
例1:画出不等式 x + 4y < 4表示的平面区域
解:(1)直线定界:先画直线x + 4y – 4 = 0(画成虚线)
(2)特殊点定域:取原点(0,0),代入x + 4y - 4,因为 0 + 4×0 – 4 = -4 < 0
所以,原点在x + 4y – 4 < 0表示的平面区域内,不等式x + 4y – 4 < 0表示的区域如图所示。
例2用平面区域表示不等式组  的解集
 

例3 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示:
规格类型

钢板类型 A规格 B规格 C规格
第一种钢板 1 2 1
第二种钢板 2 1 3
今需要三种规格的成品分别为12块、15块、27块,用数学关系式和图形表示上述要求


(四)巩固练习
1. 不等式 表示的区域在直线 的(    ).
A.右上方  B.右下方 C.左上方  D.左下方
2. 已知点 和 在直线 的两侧,则 的取值范围是            .

3. 画出 表示的平面区域为:
4.求不等式组 表示平面区域的面积

5.一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料,生产1车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t,硝酸盐18t;生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t. 现库存磷酸盐10t,硝酸盐66t,在此基础上生产这两种混合肥料. 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域.

小结:
结论:
1. 二元一次不等式 在平面直角坐标系中表示直线 某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线)
2. 如何判断二元一次不等式 在平面直角坐标系中表示的区域是直线 哪一侧所有点组成的平面区域呢?直线定界,特殊点定域.
3. 不等式中仅 或 不包括     ;但含“ ”“ ”包括       ; 同侧同号,异侧异号.

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