2012年海淀区高三数学一模试卷及答案（理科）

（Ⅰ）求直方图中 的值；
（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；
（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为 ，求 的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）

(18)（本小题满分13分）
已知函数 .
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数 ，使得函数 的极大值等于 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.

(19)（本小题满分13分）
在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为坐标原点，左焦点为 ，  为椭圆 的上顶点，且 .
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）已知直线 ： 与椭圆 交于 ， 两点，直线 ： （ ）与椭圆 交于 ， 两点，且 ，如图所示.
（ⅰ）证明： ;
（ⅱ）求四边形 的面积 的最大值.

 (20)（本小题满分14分）
对于集合M，定义函数 对于两个集合M，N，定义集合 . 已知 ， .
（Ⅰ）写出 和 的值，并用列举法写出集合 ；
（Ⅱ）用Card(M)表示有限集合M所含元素的个数，求 的最小值；
（Ⅲ）有多少个集合对（P，Q），满足 ，且 ？
  海淀区高三年级第二学期期中练习
数    学（理科）
参考答案及评分标准          2012．04
一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）
答案 D B A C B D  A B
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
（9）         （10）         （11）         （12）         
（13）60°            （14）     ①③
三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为 成等差数列，
         所以 .
         因为 ，
         所以 .                          ………………………………………2分
         因为 ， ， ，
         所以 .                   ………………………………………5分
所以 或 （舍去）.           ………………………………………6分
   （Ⅱ）因为 ，
所以
           
           
            .               ………………………………………10分
         因为 ，
         所以 .
         所以当 ，即 时， 有最大值 .
………………………………………13分

 (16)（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明： 因为 // ， 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 .                    ………………………………………2分
因为 平面 ，平面 平面 ，
所以 // .                           ………………………………………4分
（Ⅱ）证明：因为 平面 ， ，所以以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， .
………………………………………5分
所以  ， ，
 ，
所以 ，
 .
所以  ， .
因为  ， 平面 ，
 平面 ，
所以  平面 .                     
………………………………………9分

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