2012年海淀区高三数学一模试卷及答案（理科）

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海淀区高三年级第二学期期中练习
               数 学（理科）
2012.04
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合 ， ，且 ，那么 的值可以是                         
（A）           （B）          （C）           （D）
（2）在等比数列 中， ，则 =
（A）   （B）          （C）        （D）
（3）在极坐标系中，过点 且平行于极轴的直线的极坐标方程是
（A）     （B）
（C）     （D）
（4）已知向量 ，若 与 垂直，则
（A）                 （B）            
（C）2                   （D）4
（5）执行如图所示的程序框图，输出的 值是
（A）4           （B）5           
（C）6           （D）7
（6）从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是         
（A）12            （B）24   
（C）36            （D）48

（7）已知函数  若 ，使得 成立，则实数 的取值范围是        
（A）                         （B）   
（C）                    （D） 或
（8）在正方体 中，若点 （异于点 ）是棱上一点，则满足 与 所成的角为 的点 的个数为                                                     
（A）0                  （B）3          
（C）4                  （D）6

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.
（9）复数 在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数 =           .
（10）过双曲线 的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是            .
（11）若 ，则 =             .
（12）设某商品的需求函数为 ，其中 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性 大于1（其中 ， 是 的导数），则商品价格 的取值范围是            .
（13）如图，以 的边 为直径的半圆交 于点 ，交 于点 ， 于点 ， ， ，那么 =        ， =       .

（14）已知函数 则
（ⅰ） =        ；
（ⅱ）给出下列三个命题：
①函数 是偶函数；
②存在 ，使得以点 为顶点的三角形是等腰直角三角形；
③存在 ，使得以点 为顶点的四边形为菱形.
其中，所有真命题的序号是           .

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分13分）
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ，且 ， ，  成等差数列.
（Ⅰ）若 ， ，求 的值；
（Ⅱ）设 ，求 的最大值. www.

 (16)（本小题满分14分）
在四棱锥 中， // ， ， ， 平面 ， .
（Ⅰ）设平面 平面 ，求证： // ；
（Ⅱ）求证： 平面 ；
（Ⅲ）设点 为线段 上一点，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值．

 (17)（本小题满分13分）
某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是 ，样本数据分组为 ， ， ， ， .

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