2012年海淀区高三数学一模试卷及答案（理科）

（Ⅲ）解：设 （其中 ）， ，直线 与平面 所成角为 .
所以  .
所以  .
所以  即 .  
所以  .    ………………………………………11分
由（Ⅱ）知平面 的一个法向量为 .
………………………………………12分
因为  ，
所以  .
解得  .
所以  .                        ………………………………………14分

(17)（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由直方图可得：
 .
所以  .                     ………………………………………2分
（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：
 ，                 ………………………………………4分
因为 ，
所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.
………………………………………6分
（Ⅲ） 的可能取值为0，1，2，3，4.         ………………………………………7分
由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为 ，
 ,         ,
 , ,
 .  
所以 的分布列为：
 
0 1 2 3 4
 

………………………………………12分
 .（或 ）
所以 的数学期望为1.                  ………………………………………13分

 (18)（本小题满分13分）
解：（Ⅰ） 的定义域为 .
      ，
即  .      ………………………………………2分
令 ，解得： 或 .             
当 时， ，故 的单调递增区间是 .
                                         ………………………………………3分
当 时，
 ， 随 的变化情况如下：
 
 
极大值 
极小值 

所以，函数 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 .
………………………………………5分
当 时，
 ， 随 的变化情况如下：

 
 
极大值 
极小值 

所以，函数 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 .
………………………………………7分
（Ⅱ）当 时， 的极大值等于 . 理由如下：
  当 时， 无极大值.
当 时， 的极大值为 ，     
………………………………………8分
令 ，即  解得  或 （舍）.
                                                              ………………………………………9分
  当 时， 的极大值为 .
………………………………………10分
因为  ， ，       
所以  .
因为  ，
所以  的极大值不可能等于 .     ………………………………………12分

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