湖南省长、望、浏、宁2012届高三3月一模联考数学试题（理）

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湖南省长、望、浏、宁2012届高三3月一模联考数学试题（理）

本试题包括选择题、填空题和解答题三部分。时间120分钟，满分150分。
参考公式：
 （1）柱体体积公式 ，其中s为底面面积，h为高。
 （2）球的体积公式 ，其中R为球的半径
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．i是虚数单位，若复数z满足 ，则复数z的实部与虚部的和是 （    ）
 A．0 B．-1 C．1 D．2
2．设 ，则“ ”是“ ”的  （    ）
 A．充分不必要条件  B．必要不充分条件
 C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件
3．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是 ，
则图中正视图所标a=  （    ）
 A．1
 B．
 C．
 D．
4．已知 ，则 等于   （    ）
 A．  B．  C．  D．
5．以双曲线 的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是 （    ）
 A．  B．
 C．   D．
6．某校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩 ，（ ，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分这间的人数约为总人数的 ，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为   （    ）
 A．200 B．300 C．400 D．600
7．已知平面上三个点A、B、C满足 ，则 的值等于    （    ）
 A．25 B．24 C．-25 D．-24
8．设集合 ，在S上定义运算 ，其中k为i+j被4除的余数， ，则使关系式 成立的有序数对（i，j）的组数为（    ）
 A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共8个小题，考生作答7个小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应号后的横线上。）
 （一）选做题（请考生在9、10两题中任一题作答，如果全做，则按前一题记分）
9．已知直线 的参数方程： （t为参数）与圆C的极坐标
方程： ，则直线 与 C的公共点个数是
       。
10．如图，平行四边形ABCD中，AE：BE=1：2，若 的
面积等于1cm3，则 的面积等于            cm2。
11．在调试某设备的线路中，要选下列备用电阻之一，备用电阻由小到大已排好为0.5kΩ，1.3kΩ，2kΩ，3kΩ，5kΩ，5.5kΩ，若用分数法，则第二次试点是      。
 （二）必做题（12~16题）
12．在等比数列 中，首项 ，则公比为       。
13．阅读右面的程序框图，如果输出的函数值在区间 内，
那么输入实数x的取值范围是      。
14．若不等式组 表示的平面区域是一个三角形，
则a的取值范围是        。
15．若曲线 在点 处的切线的方程为 ，则曲
线 在点 处切线的斜率为     ，该切线方程为          。

16．数列 的前n项和为 ，且数列 的各项按如下规则排列：
 
 则 =        ，若存在正整数k，使 ，则k=           。
三、解答题：（本大题共6个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本题满分12分）
 设函数
 （1）求函数 的最小正周期及其在区间 上的值域；
 （2）记 的内角A、B、C的对边分别为 ，若 且 ，求角B的
值。

18．（本题满分12分）
 在某次考试中共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的，评分标准规定：“每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分”。某考生每道题给出一个答案，并已确定有9道题的答案是正确的，而其余题中，有一道题可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断出一个选项是错误的，还有一道题因不了解题意只能乱猜，试求出该考生；
 （1）选择题得60分的概率；
 （2）选择题所得分数 的数学期望。

19．（本题满分12分） 
 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点。
 （1）求证： ；
 （2）求二面角D—CB1—B的平面角的正切值。
 

20．（本题满分13分）
 如图，在一条笔直的高速公路MN的同旁有两上城镇A、B，它们与MN的距离分别是 ，A、B在MN上的射影P、Q之间距离为12km，现计划修普通公路把这两个城镇与高速公路相连接，若普通公路造价为50万元/km；而每个与高速公路连接的立交出入口修建费用为200万元。设计部门提交了以下三种修路方案：
 方案①：两城镇各修一条普通公路到高速公路，并各修一个立交出入口；
 方案②：两城镇各修一条普通公路到高速公路上某一点K，并在K点修一个公共立交出入口；
 方案③：从A修一条普通公路到B，现从B修一条普通公路到高速公路，也只修一个立交出入口。
 请你为这两个城镇选择一个省钱的修路方案。

21．（本题满分13分）
 如图，设抛物线 的准线与x轴交于F1，焦点为F2；以F1，F2为焦点，离心率 的椭圆C2与抛物线C1在x轴上方的交点为P，延长PF2交抛物线于点Q，M是抛物线C1上一动点，且M在P与Q之间运动。
 （1）当m=1时，求椭圆C2的方程；
 （2）当 的边长恰好是三个连续的自然数时，求 面积的最大值。

22．（本题满分13分）
 已知数列 满足 ，数列 满足 ，数列 满足
 （1）求数列 的通项公式；
 （2）试比较 的大小，并说明理由；
 （3）我们知道数列 如果是等差数列，则公差 是否会小于等于一个常数k呢？若会，求出k的取值范围；若不会，请说明理由。

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