2012年河南中考数学模拟调研检测试题及答案

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23．解：（1）证明：如图I，分别连接OE、0F
 ∵四边形ABCD是菱形
 ∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AD=DC=BC
 ∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．
   ∠ADO= ∠ADC= ×60°=30°
  又∵E、F分别为DC、CB中点
   ∴OE= CD，OF= BC，AO= AD
  ∴0E=OF=OA   ∴点O即为△AEF的外心。
（2）
①猜想：外心P一定落在直线DB上。
证明：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，P J⊥AD于J
∴∠PIE=∠PJD=90°，∵∠ADC=60°
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°
∵点P是等边△AEF的外心，∴∠EPA=120°，PE=PA，
∴∠IPJ=∠EPA，∴∠IPE=∠JPA
∴△PIE≌△PJA， ∴PI=PJ
∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上。

② 为定值2.
当AE⊥DC时．△AEF面积最小，
此时点E、F分别为DC、CB中点．
连接BD、AC交于点P，由（1）
可得点P即为△AEF的外心
解法一：如图3．设MN交BC于点G
设DM=x，DN=y(x≠0．y≠O)，则 CN=
∵BC∥DA ∴△GBP∽△MDP．∴BG=DM=x．
∴
∵BC∥DA，∴△NCG∽△NDM
∴ ，∴
∴
∴ ，即
其它解法略。

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