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2012年中考数学复习：图形认识初步
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解：因为∠AOE＝90°，
所以∠2＝90°－∠1＝90°－27°20′＝62°40′．
又因为∠AOD＝180°－∠1＝152°40′，∠3＝∠FOD，
所以∠3＝ ∠AOD＝76°20′．
所以上2＝62°40′，∠3＝76°20′．
例9 如图4—4—4所示，OB、OC是∠AOD内任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON＝α，∠BOC=β，用α、β表示∠AOD．
解：因为∠MON＝α，∠BOC=β，
所以∠BOM＋∠CON＝∠MON－∠BOC=α－β
又OM平分∠AOB，ON平分∠COD，
所以∠AOB＋∠COD＝2∠BOM＋2∠CON
=2(∠BOM＋∠CON)＝2(α－β)，
所以∠AOD＝∠AOB＋∠COD＋∠BOC＝2(α－β)＋β=2α－β.
例10 (1)用度、分、秒表示54．12°．
(2)32°44′24″等于多少度?
(3)计算：133°22′43″÷3．
解：(1)因为0．12°＝60′×0．12=7．2′，0.2′=60″×0．2=12″，
所以54．12°=54°7′12″．
(2)因为24″=( )′×24＝0．4′，44．4′=( )°×44．4=0．74°，
所以32°44′24″=32.74°．
(3)133°22′43″÷3＝(132°＋82′)÷3＋43″÷3=44°＋82′÷3＋43″÷3
＝44°＋(81′＋1′)÷3＋43″÷3=44°＋27′＋1′÷3＋43″÷3
=44°＋27′＋103″÷3≈44°＋27′＋3″=44°27′3″.
方法总结
角的有关运算是指角的单位换算和角的加、减、乘、除运算．角度制的单位是 60进制的，和计量时间的时、分、秒一样．加减时，要将度、分、秒分别相加、相减，分、秒逢60要进位，而相减不够时要借1作60；度、分、秒形式乘一个数时，要将度、分、秒分别乘这个数，分、秒逢60进位；度、分、秒形式除以一个数时，也是将度、分、秒分别除以这个数，不过要将高位的余数转化成低位，与原位上的数相加后再除以这个数．
题型四 钟表的时针与分针夹角问题
例11 15：25时钟面上时针和分针所构成的角是 度．
解析：起始时刻定为15：00(下午3点整时，时针和分针构成的角是90°)，终止时刻为15：25，从图4—4—5中可以看出分针从12转到5用了25分钟，转了6°×25＝150°，时针转了0．5°×25＝12．5°，所以15：25时钟面上时针和分针所构成的角为150°－90°－ 12．5°＝47．5°． 答案：47．5
点拨
解决此类问题时要选择恰当的起始时刻，注意时针和分针同时在运动，并牢记时针每分钟转＝o．5 =0.5，分针每分钟转 ＝6°．
题型五 图形的转化
例12 下列图形中不是正方体的平面展开图的是( )
解析：通过折叠验证四个选项，可得正确答案． 答案：C
点拨
立体图形的平面展开图是沿着立体图形的一些棱将它剪开，把立体图形展开成一个平面图形．一个正方体的平面展开图中，在同一直线上相邻的三个正方形中，首尾两个正方形是正方体中相对的两个面．
例13 如图4—4—6所示，将标号为A、B、C、D的正方形沿图中虚线剪开后，得到标号为P、Q、M、N的四组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系填空：A与 对应；B与 对应；C与 对应；D与 对应．
解析：按照剪开的形状，找出对应的图形． 答案：M，P，Q，N
题型六 方位角
例14 如图4—4—7所示，我海军的两艘军舰(分别在A、B两处)同时发现了一艘敌舰，其中A舰发现它在北偏东15°的方向上，B舰发现它在东北方向上，试画出这艘敌舰的位置(用字母C表示)．
解：如图4—4—8所示，分别以点A、点B为中心建立方位图，表示东北方向的射线 BE与表示北偏东15°方向的射线AD的交点C即为这艘敌舰的位置．
点拨
利用角度来描述方位，以正北、正南的方向为基准，先确定是北还是南，然后确定东、西方向，最后确定偏东(或西)的角度，注意东北方向是北偏东45°．
所以∠2＝90°－∠1＝90°－27°20′＝62°40′．
又因为∠AOD＝180°－∠1＝152°40′，∠3＝∠FOD，
所以∠3＝ ∠AOD＝76°20′．
所以上2＝62°40′，∠3＝76°20′．
例9 如图4—4—4所示，OB、OC是∠AOD内任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON＝α，∠BOC=β，用α、β表示∠AOD．
解：因为∠MON＝α，∠BOC=β，
所以∠BOM＋∠CON＝∠MON－∠BOC=α－β
又OM平分∠AOB，ON平分∠COD，
所以∠AOB＋∠COD＝2∠BOM＋2∠CON
=2(∠BOM＋∠CON)＝2(α－β)，
所以∠AOD＝∠AOB＋∠COD＋∠BOC＝2(α－β)＋β=2α－β.
例10 (1)用度、分、秒表示54．12°．
(2)32°44′24″等于多少度?
(3)计算：133°22′43″÷3．
解：(1)因为0．12°＝60′×0．12=7．2′，0.2′=60″×0．2=12″，
所以54．12°=54°7′12″．
(2)因为24″=( )′×24＝0．4′，44．4′=( )°×44．4=0．74°，
所以32°44′24″=32.74°．
(3)133°22′43″÷3＝(132°＋82′)÷3＋43″÷3=44°＋82′÷3＋43″÷3
＝44°＋(81′＋1′)÷3＋43″÷3=44°＋27′＋1′÷3＋43″÷3
=44°＋27′＋103″÷3≈44°＋27′＋3″=44°27′3″.
方法总结
角的有关运算是指角的单位换算和角的加、减、乘、除运算．角度制的单位是 60进制的，和计量时间的时、分、秒一样．加减时，要将度、分、秒分别相加、相减，分、秒逢60要进位，而相减不够时要借1作60；度、分、秒形式乘一个数时，要将度、分、秒分别乘这个数，分、秒逢60进位；度、分、秒形式除以一个数时，也是将度、分、秒分别除以这个数，不过要将高位的余数转化成低位，与原位上的数相加后再除以这个数．
题型四 钟表的时针与分针夹角问题
例11 15：25时钟面上时针和分针所构成的角是 度．
解析：起始时刻定为15：00(下午3点整时，时针和分针构成的角是90°)，终止时刻为15：25，从图4—4—5中可以看出分针从12转到5用了25分钟，转了6°×25＝150°，时针转了0．5°×25＝12．5°，所以15：25时钟面上时针和分针所构成的角为150°－90°－ 12．5°＝47．5°． 答案：47．5
点拨
解决此类问题时要选择恰当的起始时刻，注意时针和分针同时在运动，并牢记时针每分钟转＝o．5 =0.5，分针每分钟转 ＝6°．
题型五 图形的转化
例12 下列图形中不是正方体的平面展开图的是( )
解析：通过折叠验证四个选项，可得正确答案． 答案：C
点拨
立体图形的平面展开图是沿着立体图形的一些棱将它剪开，把立体图形展开成一个平面图形．一个正方体的平面展开图中，在同一直线上相邻的三个正方形中，首尾两个正方形是正方体中相对的两个面．
例13 如图4—4—6所示，将标号为A、B、C、D的正方形沿图中虚线剪开后，得到标号为P、Q、M、N的四组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系填空：A与 对应；B与 对应；C与 对应；D与 对应．
解析：按照剪开的形状，找出对应的图形． 答案：M，P，Q，N
题型六 方位角
例14 如图4—4—7所示，我海军的两艘军舰(分别在A、B两处)同时发现了一艘敌舰，其中A舰发现它在北偏东15°的方向上，B舰发现它在东北方向上，试画出这艘敌舰的位置(用字母C表示)．
解：如图4—4—8所示，分别以点A、点B为中心建立方位图，表示东北方向的射线 BE与表示北偏东15°方向的射线AD的交点C即为这艘敌舰的位置．
点拨
利用角度来描述方位，以正北、正南的方向为基准，先确定是北还是南，然后确定东、西方向，最后确定偏东(或西)的角度，注意东北方向是北偏东45°．
思想方法归纳
1．分类讨论思想
分类讨论，就是对问题所给对象的条件、结论、图形等不能进行统一研究时，就需要将研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．注意分类时要做到按同一标准且不重不漏．
例1 已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，求线段AC的长．
解：本题分两种情况：
如图4—4—9所示，当点C在线段AB的延长线上时，
AC＝AB＋BC＝8＋3＝11(crn)；
如图4—4—10所示，当点C在线段AB上时，
