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2012届高考理科数学第二轮综合验收评估复习题及答案
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12．(2011•北京)已知函数f(x)＝(x－k)2exk.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1e，求k的取值范围．
解析 (1)f′(x)＝1k(x2－k2)exk.
令f′(x)＝0，得x＝±k.
当k＞0时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x (－∞，－k) －k (－k，k) k (k，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 4k2e－1 ↘ 0 ↗
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)，单调递减区间是(－k，k)．
当k＜0时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x (－∞，k) k (k，－k) －k (－k，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ↘ 0 ↗ 4k2e－1 ↘
所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)，单调递增区间是(k，－k)．
(2)当k＞0时，因为f(k＋1)＝ ＞1e，
所以不会有∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤1e.
当k＜0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝4k2e.
所以∀x∈(0，＋∞)，
f(x)≤1e等价于f(－k)＝4k2e≤1e，
解得－12≤k＜0.
故当∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤1e时，k的取值范围是－12，0.
来源于：教案试题公文网wwW.JAStGw.CoM免费下载使用
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1e，求k的取值范围．
解析 (1)f′(x)＝1k(x2－k2)exk.
令f′(x)＝0，得x＝±k.
当k＞0时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x (－∞，－k) －k (－k，k) k (k，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 4k2e－1 ↘ 0 ↗
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)，单调递减区间是(－k，k)．
当k＜0时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x (－∞，k) k (k，－k) －k (－k，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ↘ 0 ↗ 4k2e－1 ↘
所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)，单调递增区间是(k，－k)．
(2)当k＞0时，因为f(k＋1)＝ ＞1e，
所以不会有∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤1e.
当k＜0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝4k2e.
所以∀x∈(0，＋∞)，
f(x)≤1e等价于f(－k)＝4k2e≤1e，
解得－12≤k＜0.
故当∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤1e时，k的取值范围是－12，0.
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