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2012届高考数学第二轮不等式同步复习题及答案
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[解析] 由于不等式ax－1x＋1<0的解集是(－∞，－1)∪(－12，＋∞)，故－12应是ax－1＝0的根．∴a＝－2.
10．若不等式9－x2≤k(x＋2)－2的解集为区间[a，b]，且b－a＝2，则k＝________.
[答案] 2
[解析] 令y1＝9－x2，y2＝k(x＋2)－2，
在同一个坐标系中作出其图像．
因9－x2≤k(x＋2)－2的解集为[a，b]且b－a＝2，
结合图像知b＝3，a＝1，即直线与圆的交点坐标为(1，22)．
∴k＝22＋21＋2＝2.
11．(2011•陕西文，12)如图，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x－y的最小值为________．
[答案] 1
[解析] 设z＝2x－y，求z的最小值，即求直线z＝2x－y过可行域时截距的最大值．由于直线AB斜率kAB＝3－12－1<2，所以当z＝2x－y过A点时2x－y最小，此时2x－y＝2×1－1＝1.
12．(文)(2011•天津文，12)已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．
[答案] 18
[解析] ∵log2a＋log2b≥1
∴log2ab≥1，ab≥2.
∴a•2b≥4，∴a＋2b≥2a•2b≥4(当且仅当a＝2b＝2时取“＝”)
3a＋9b＝3a＋32b≥23a•32b＝23a＋2b≥234＝18.
(当且仅当a＝2b＝2时取“＝”)
(理)(2011•浙江理，16)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．
[答案] 2105
[解析] 令2x＋y＝t，则y＝t－2x，
代入4x2＋y2＋xy＝1，得：6x2－3tx＋t2－1＝0，
由Δ＝9t2－24(t2－1)≥0，得：
t2≤85，∴－2105≤t≤2105.
∴t的最大值为2105.
三、解答题
13．(2011•宁夏三模)实数a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0对任意x∈R恒成立？
[解析] (1)当a2－1＝0时，a＝±1，若a＝1，原不等式化为－1<0，显然恒成立；若a＝－1，原不等式化为2x－1<0，显然不恒成立，不合题意．
(2)当a2－1≠0时，函数y＝(a2－1)x2－(a－1)x－1是二次函数，图像为抛物线，结合图像可知要使不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0对任意x∈R恒成立，须
a2－1<0Δ＝a－12＋4a2－1<0，解得－35<a<1.
综上可知，当－35<a≤1时，原不等式对任意x∈R恒成立．
14．(2009•湖北)围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.
[解析] (1)如图，设矩形的另一边长为a m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.
由已知xa＝360，得a＝360x，
所以y＝225x＋3602x－360(x＞0)．
(2)∵x＞0，∴225x＋3602x≥2225×3602＝10800.
∴y＝225x＋3602x－360≥10440.
当且仅当225x＝3602x时，等号成立．
即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440 元．
15．(2011•南京市调研)已知函数f(x)＝x2－ax＋2x(x＞0)，
(1)指出f(x)的单调区间，并进行证明；
(2)若x＞0时，不等式f(x)≥12x恒成立，求实数a的取值范围．
[分析] (1)函数的单调性、单调区间的确定一般用导数或单调性定义；(2)用均值不等式求解．
[解析] (1)解法一：∵f(x)＝x＋2x－a(x＞0)
∴f ′(x)＝1－2x2＝x2－2x2(x＞0)．
令f ′(x)＞0则x2－2＞0(x＞0)∴x∈(2，＋∞)．
令f ′(x)＜0则x2－2＜0(x＞0)∴x∈(0，2)．
∴f(x)的增区间为(2，＋∞)，减区间为(0，2)．
解法二：f(x)＝x2－ax＋2x＝x＋2x－a(x＞0)，
f(x)在(0，2]上为减函数，在[2，＋∞) 上为增函数．
设0＜x1＜x2≤2，
则f(x1)－f(x2)＝(x1＋2x1－a)－(x2＋2x2－a)
＝(x1－x2)＋(2x1－2x2)＝x1－x2x1x2－2x1x2.
因为0＜x1＜x2≤2，所以x1－x2＜0,0＜x1x2＜2，
所以f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)＞f(x2)．
故f(x)在(0，2]上为减函数，得证．
同理可证，f(x)在[2，＋∞)上为增函数．
(2)由f(x)≥12x，有x＋2x－a≥12x，12x＋2x－a≥0，
因为x＞0，所以12x＋2x≥212x•2x＝2(当且仅当x＝2时取等号)．
要使不等式f(x)≥12x对x＞0恒成立，
只需2－a≥0，所以a≤2即为所求．
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10．若不等式9－x2≤k(x＋2)－2的解集为区间[a，b]，且b－a＝2，则k＝________.
[答案] 2
[解析] 令y1＝9－x2，y2＝k(x＋2)－2，
在同一个坐标系中作出其图像．
因9－x2≤k(x＋2)－2的解集为[a，b]且b－a＝2，
结合图像知b＝3，a＝1，即直线与圆的交点坐标为(1，22)．
∴k＝22＋21＋2＝2.
11．(2011•陕西文，12)如图，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x－y的最小值为________．
[答案] 1
[解析] 设z＝2x－y，求z的最小值，即求直线z＝2x－y过可行域时截距的最大值．由于直线AB斜率kAB＝3－12－1<2，所以当z＝2x－y过A点时2x－y最小，此时2x－y＝2×1－1＝1.
12．(文)(2011•天津文，12)已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．
[答案] 18
[解析] ∵log2a＋log2b≥1
∴log2ab≥1，ab≥2.
∴a•2b≥4，∴a＋2b≥2a•2b≥4(当且仅当a＝2b＝2时取“＝”)
3a＋9b＝3a＋32b≥23a•32b＝23a＋2b≥234＝18.
(当且仅当a＝2b＝2时取“＝”)
(理)(2011•浙江理，16)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．
[答案] 2105
[解析] 令2x＋y＝t，则y＝t－2x，
代入4x2＋y2＋xy＝1，得：6x2－3tx＋t2－1＝0，
由Δ＝9t2－24(t2－1)≥0，得：
t2≤85，∴－2105≤t≤2105.
∴t的最大值为2105.
三、解答题
13．(2011•宁夏三模)实数a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0对任意x∈R恒成立？
[解析] (1)当a2－1＝0时，a＝±1，若a＝1，原不等式化为－1<0，显然恒成立；若a＝－1，原不等式化为2x－1<0，显然不恒成立，不合题意．
(2)当a2－1≠0时，函数y＝(a2－1)x2－(a－1)x－1是二次函数，图像为抛物线，结合图像可知要使不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0对任意x∈R恒成立，须
a2－1<0Δ＝a－12＋4a2－1<0，解得－35<a<1.
综上可知，当－35<a≤1时，原不等式对任意x∈R恒成立．
14．(2009•湖北)围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.
[解析] (1)如图，设矩形的另一边长为a m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.
由已知xa＝360，得a＝360x，
所以y＝225x＋3602x－360(x＞0)．
(2)∵x＞0，∴225x＋3602x≥2225×3602＝10800.
∴y＝225x＋3602x－360≥10440.
当且仅当225x＝3602x时，等号成立．
即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440 元．
15．(2011•南京市调研)已知函数f(x)＝x2－ax＋2x(x＞0)，
(1)指出f(x)的单调区间，并进行证明；
(2)若x＞0时，不等式f(x)≥12x恒成立，求实数a的取值范围．
[分析] (1)函数的单调性、单调区间的确定一般用导数或单调性定义；(2)用均值不等式求解．
[解析] (1)解法一：∵f(x)＝x＋2x－a(x＞0)
∴f ′(x)＝1－2x2＝x2－2x2(x＞0)．
令f ′(x)＞0则x2－2＞0(x＞0)∴x∈(2，＋∞)．
令f ′(x)＜0则x2－2＜0(x＞0)∴x∈(0，2)．
∴f(x)的增区间为(2，＋∞)，减区间为(0，2)．
解法二：f(x)＝x2－ax＋2x＝x＋2x－a(x＞0)，
f(x)在(0，2]上为减函数，在[2，＋∞) 上为增函数．
设0＜x1＜x2≤2，
则f(x1)－f(x2)＝(x1＋2x1－a)－(x2＋2x2－a)
＝(x1－x2)＋(2x1－2x2)＝x1－x2x1x2－2x1x2.
因为0＜x1＜x2≤2，所以x1－x2＜0,0＜x1x2＜2，
所以f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)＞f(x2)．
故f(x)在(0，2]上为减函数，得证．
同理可证，f(x)在[2，＋∞)上为增函数．
(2)由f(x)≥12x，有x＋2x－a≥12x，12x＋2x－a≥0，
因为x＞0，所以12x＋2x≥212x•2x＝2(当且仅当x＝2时取等号)．
要使不等式f(x)≥12x对x＞0恒成立，
只需2－a≥0，所以a≤2即为所求．
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