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七年级数学教案免费下载:多边形的内角和
7.3.2 多边形的内角和
[教学目标]
1.使学生了解多边形的内角、外角等概念.
2.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式,并会应用它们进行有关计算.
[教学重点、难点]
1.重点:
(1)多边形的内角和公式.
(2)多 边形的外角和公式.
2.难点:多边形的内角和定理的推导.
[教学过程]
一、探究
1.我们知道三角形的内角和为180°.
2.我们还知道,正方形的四个角都等于90°,那么它的内角和为360°,同样长方形的内角和也是360°.
3.正方形和长方形都是特殊的四边形,其内角和为360°,那么一般的四边形的内角和为多少呢?
画一个任意的四边形,用量角器量出它的四个内角,计算它们的和,与同伴交流你的结果.
从中你得到什么结论?
同学们进行量一量,算一算及交流后老师加以归纳得到四边形的内角和为360°的感性认识,是否成为定理要进行推导.
二、思考几个问题
1.从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线?它们将四边形分成几个三角形?那么四边形的内角和等于多少度?
2.从五边形一个顶点出发可以引几条对角线?它们将 五边形分成几个三角形?那么这五边形的内角和为多少度?
3.从n边形的一个顶点出发,可以引几条对角线?它们将n边形分成几个三角形?n边形的内角和等于多少度?
综上所述,你能得到多边形内角和公式吗?
设多边形的边数为n,则
n边形的内角和等于(n一2)•180°.
想一想:要得到多边形的内角和必需通过“三角形的内角和定理”来完成,就是把一个多边形分成几个三角形.除利用对角线把多边形分成几个三角形外,还有其他的分法吗?你会用新的分法得到n边形的内角和公式吗?
由同学动手并推导在与同伴交流后,老师归纳:(以五边形为例)
分法一:在五边形ABCDE内任取一点O,连结OA、OB、OC、OD、OE,则得五个三角形.其五个三角形内角和为5×180°,而∠1,∠2,∠3,∠4,∠5不是五边形的内角应减去,∴五边形的内角和为5×180°一2×180°=(5—2)×180°=540°.
如果五边形变成n边形,用同样方法也可以得到n个三角形的内角和减去一个周角,即可得:n边形内角和=n×l80°一2×180°=(n一2)×180°.
分法二:在边AB上取一点O,连OE、OD、OC,则可以(5-1)个三角形,而∠1、∠2、∠3、∠4不是五边形的内角,应舍去.
∴五边形的内角和为(5—1)×180°一180°=(5—2)×180°
用同样的办法,也可以把n边形分成(n一1)个三角形,把不是n边形内角的∠AOB舍去,即可得n边形的内角和为(n一2)×180°.
三、例题
例1 如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系?
已知:四边形ABCD的∠A+∠C=180°.求:∠B与∠D的关系.
分析:本题要求∠B与∠D的关系,由于已知∠A+∠C=180°,所以可以从四边形的内角和入手,就可得到完满的答案.
解:如图,四边形ABCD中,∠A+∠C=180°。
∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×360°=180°,
∴∠B+∠D= 360°-(∠A+∠C)=180°
这就是说:如果四边形一组对角互补,那么另一组对角也互补.
例2 如图,在六边 形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少?
已知:∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6分别为六边形ABCDEF的外角.
求:∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值.
分析:关于外角问题我们马上就会联想到平角,这样我们就得到六边形的6个外角加上它相邻的内角的总和为6×1 80°.由于六边形的内角和为(6—2)×180°=720°.
这样就可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360° .
解:∵六边形的任何一个外角加上它相邻的内角和为180°.
∴六边形的六个外角加上各自相邻内角的总和为6×180°.
由于六边形的内角和为(6—2)×180°=720°
∴它的外角和为 6×180°一720°=360°
如果把六边形横成n边形.(n为不小于3的正整数)
同样也可以得到 其外角和等于360°.即
多边形的外角和等于360°.
所以我们说多边形的外角和与它的边数无关.
对此,我们也可以象以下这种,理解为什么多边形的外角和等于360°.
如下图,从多边形的一个顶点A出发,沿多边形各边走过各顶点,再回到A点,然后转向出发时的方向,在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和,由于走了一周,所得的各个角的和等于一个周角,所以多边形的外角和等于360°.
四、课堂练习
课本P89练习1、2、3题.
P90第2、3题
五、课堂小结
引导学生总结本节课主要内容.
六、课后作业
课本P90第4、5、6题.
备选题:
一、判断题.
1.当多边形边数增加时,它的内角和也随着增加.( )
2.当多边形边数增加时.它的外角和也随着增加.( )