关于运用运算律的讨论

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关于运用运算律的讨论
通过集体备课及评课，我与科组教师作了教后课堂教学运算律的讨论，现我作以下总结：
一、苏教版小学数学四年级上册第 62 页“试一试”有这样一道题：你能用简便算法计算吗 ?(2)5 × 37 × 2=5 × 2 × 37=10 × 37=370 。对其运用的运算律是乘法交换律还是乘法交换律和乘法结合律，一些学生和教师还是产生了分歧。在苏教版小学数学四年级上册《教师教学用书》 ( 以下简称“教参” ) 第 138 页针对该题有这样的叙述：对于 5 × 37 × 2 ，“要使学生认识到：仅仅应用乘法结合律，还不能使计算简便，还得先应用乘法交换律交换乘数 5 与 37( 或 37 与 2) 的位置，再应用乘法结合律，才可以使计算简便。”教参的意思应为：先应用乘法交换律交换乘数 5 与 37 的位置，即： 5 × 37 × 2=37 × (5 × 2)=37 × 10=370 或交换乘数 37 与 2 的位置，即： 5 × 37 × 2=5 × 2 × 37=10 × 37=370 。所以交换乘数 37 与 2 的位置的算法是运用了乘法交换律和乘法结合律。 另外，我认为5 × 37 × 2=5 × 2 × 37 时只运用了乘法交换律， 5 × 37 × 2=(5×2) × 37 时运用了乘法交换律和乘法结合律。   
二、 《小学单元测试 AB 卷》苏教版四年级上册 ( 马振生主编／青海人民出版社 ) 第 41 页填空题 5 ：把符合要求的算式序号填在括号里。① (20+40)+60=20+(40+60)   ② 8 × 5 × 9=5 × 9 × 8   ③ a+125+75=125+75+a ④ 40+(60+b)=(40+60)+b ……应用了加法交换律的是 (     ) ；应用了加法结合律的是 (      ) ；应用了乘法交换律的是 (     ) ；应用了乘法结合律的是 (     ) 。其中②和③中的乘数 ( 加数 ) 交换位置，参考答案是应用了乘 ( 加 ) 法交换律，而不是应用了乘 ( 加 ) 法交换律和结合律。 科组里老师们争辩后认为第二种观点仅凭加与不加括号判断是否应用结合律的观点不可取，在这里括号加与不加都不改变运算顺序，只起到强调先算“ 5 与 2 的积”的作用。坚持第一、第三种观点的老师一时难分伯仲。 就“结合”的定义，《现代汉语词典》 ( 商务印书馆／第 5 版 ) 中这样解释：动词，人或事物间发生密切联系。就“结合律”而言，就是乘数 ( 加数 ) 间发生密切联系。这也是持第一种观点的教师的理解：只要是两个乘 ( 加 ) 数相乘 ( 加 ) 就是“结合”。真的是这样吗 ? 我倾向于第三种观点。关于乘法 ( 加法 ) 的交换律和结合律，教材中虽然没有给出具体的文字叙述，但教参第 130 页倒数第二段也指出“加法结合律涉及到的加数位置不变，只是改变了运算顺序”，由此可以推及“乘法结合律涉及到的乘数位置不变，只是改变了运算顺序”。从算式 5 × 37 × 2 交换乘数位置变成 5 × 2 × 37 ，算式的运算顺序都是从左到右依次计算，运算顺序没有改变。
也就是说，谈到“交换律”时，只是指“两个元素参加运算”的情况 ! 所有的数学理论书籍都是这样表述的，绝无例外——这可以说是数学理论表述的一种“约定”。 ( 在正规的数学理论书籍中，是绝对找不到将 a × b × c=a × c × b 也称为交换律的 )
三、在 25 × 3 × 4=25 × 4 × 3 中，等号左边的 3 和 4 还没有进行运算呢 ( 在 25 × 3 × 4 中， 3 只与 25 运算，其积 75 才与 4 运算 ) ，怎么可以运用乘法交换律交换它们的位置呢 ? 显然，正是因为乘法还满足结合律，才能将 3 和 4 的位置交换过来：
25 × 3 × 4 =25 × (3 × 4)( 运用结合律，使 3 和 4 先进行运算 )
总之，当“ x ”表示实数的乘法运算， a 、 b 、 c 属于实数集合时， a × b × c 确实等于 a × c × b 。但这决不能只看表面现象、望文生义地说是“只运用了交换律”，而是“既运用了结合律，又运用了交换律”的结果。因此，我们可以把“ a × b × c=a × c × b ”这样一个规律，说成是由结合律和交换律证明了的一个“推论”。
汗颜之余，细细回想加 ( 乘 ) 法的交换律，都是指两个加 ( 乘 ) 数交换位置结果不变，我只盯住“位置交换”而忽略了“两个元素参加运算”即加 ( 乘 ) 数的个数应该是两个。像 5 × 37 × 2=5 × 2 × 37 是在三个乘数之间交换位置，应用的运算律不是乘法交换律的推广而是乘法交换律和结合律的推广 ! 进一步查阅苏教版数学四年级上册 ( 教师教学用书》 ( 附录一 ) 第 232 页和 233 页也有“从加法 ( 乘法 ) 交换律和结合律推广”的论述证实了我的想法：三个以上的数相加 ( 乘 ) ，任意交换加 ( 乘 ) 数点位置，或者先把其中的任意几个结合成一组相加 ( 乘 ) ，再同其他数相加 ( 乘 ) ，它们的和 ( 积 ) 不变。
( 中小学数学•小学版 )2006 年第 3 期和 7 — 8 期、 2007 年 1 — 2 期也发表了有关运算律是否可以改进的文章，笔者认为一些和我一样对此模糊认识的教师之所以“糊涂”，缘于没有认清交换律和结合律的本质，没有积极探寻相关知识的理论背景，而不是改变被理论和实践断定为真理的运算律。
另外，有教育者认为是西南师大版数学四年级下册 ( 数学教学参考书 ) 第 48 页的论述有误，误导了我及一部分教师，应该改为：如果把算式中的 125 与 9 交换或 8 与 9 交换，是乘法交换律与乘法结合律的综合应用。
我的思考：
“课标”颁布后的各版本实验教科书和教学参考书对于知识的形成过程与情感、态度；价值观叙述过多，但对于数学概念、性质、定律的呈现“讳莫如深”，造成了不用说学生对概念、性质、定律等结论的理解偏差，就是一部分教师 ( 特别是刚参加工作的教师 ) 对一些知识吃不透，对于一些概念、性质、定律的本质理解模棱两可，教学中一味追求生活化、过程化，淡化对数学知识本质的揭示，使数学课失去了数学本色。
我们教师肩负着培养高素质创新型人才的历史使命，提高我们的学科专业知识水平刻不容缓。对于一些意见和分歧要正本清源，多研讨、多查阅相关资料、多请教专家学者。教学研究的目的是求真，最终是让学生获得更好的发展，尤其是在目前新课程改革的推进过程中，多一些积极探索，多 + 些理性的思考，倡导求真务实的精神。只有教师把知识理解正确了、透彻了，才能引导学生认识科学规律，走进数学的殿堂。希望教材、教参、辅导资料的编写人员尽可能避免出现使教师及学生产生误解或歧义甚至错误的文字叙述。
疑问让我们去探求现象的本质，辩论让我们去伪存真，思考让我们总结得失。新的课程改革为教学提供了崭新的理念，但在教材的编写和教学实践中难免出现对理念、知识理解上的偏差，只有不断地反思、实践、改进，才能不断促进教学，促进课程改革的健康发展。 

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