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2012届高考数学第一轮章节复习考试题及答案
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[答案] ①④
[解析] 由已知得an＝Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn－2
＝(1＋1)n－2＝2n－2，
∴a8＝28－2＝256－2＝254，①正确；
an－an－1＝2n－2－2n－1＋2＝2n－1≠2n，②不正确；
∵Sn＝2－2＋22－2＋…＋2n－2＝21－2n1－2－2n＝2n＋1－2n－2，
∴S3＝24－6－2＝8≠22，③不正确，④正确．
∴①④正确．
三、解答题
12．已知数列{an}是公差d≠0的等差数列，记Sn为其前n项和．
(1)若a2、a3、a6依次成等比数列，求其公比q.
(2)若a1＝1，证明点P11，S11，P22，S22，…，Pnn，Snn(n∈N*)在同一条直线上，并写出此直线方程．
[解析] (1)∵a2、a3、a6依次成等比数列，
∴q＝a3a2＝a6a3＝a6－a3a3－a2＝3dd＝3，即公比q＝3.
(2)证明：∵Sn＝na1＋nn－12d，
∴Snn＝a1＋n－12d＝1＋n－12d.
∴点Pnn，Snn在直线y＝1＋x－12d上．
∴点P1，P2，…，Pn(n∈N*)都在过点(1,1)且斜率为d2的直线上．
此直线方程为y－1＝d2(x－1)．
13．(2010•福建文)数列{an}中，a1＝13.前n项和Sn满足Sn＋1－Sn＝(13)n＋1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn；
(2)若S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列，求实数t的值．
[解析] 本小题主要考查数列，等差数列，等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，化归与转化思想．
(1)由Sn＋1－Sn＝(13)n＋1得an＋1＝(13)n＋1(n∈N*)
又a1＝13，故an＝(13)n(n∈N*)
从而Sn＝13×[1－13n]1－13＝12[1－(13)n](n∈N*)
(2)由(1)可得S1＝13，S2＝49，S3＝1327
从而由S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列可得
13＋3×(49＋1327)＝2×(13＋49)t，解得t＝2.
14．(2010•湖北文)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房．
(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；
(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.15＝1.6)
[解析] 本小题主要考查阅读资料，提取信息，建立数学模型的能力，同时考查运用所学知识分析和解决实际问题的能力．
(1)第1年末的住房面积a•1110－b＝(1.1a－b)(m2)
第2年末的住房面积(a•1110－b)1110－b＝a(1110)2－b(1＋1110)＝(1.21a－2.1b)(m2)
(2)第3年末的住房面积
a11102－b1＋1110•1110－b
＝a•11103－b1＋1110＋11102
第4年末住房面积为：
a(1110)4－b1＋1110＋11102＋11103.
第5年末住房面积为：
a•(1110)5－b1＋1110＋11102＋11103＋11104＝1.6a－6b
依题意可得，1.6a－6b＝1.3a，解得b＝a20，所以每年拆除的旧房面积为a20(m2)．
15．某企业投资1000万元于一个高科技项目，每年可获利25%.由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg2＝0.3)
[解析] 设该企业逐年的项目资金依次为a1，a2，a3，…，an，则由已知an＋1＝an(1＋25%)－200(n∈N*)，即an＋1＝54an－200，
令an＋1－x＝54(an－x)，
即an＋1＝54an－14x，
由x4＝200，得x＝800，
∴an＋1－800＝54(an－800)(n∈N*)，
故{an－800}是以a1－800为首项，54为公比的等比数列．
∵a1＝1000(1＋25%)－200＝1050，
∴a1－800＝250
∴an－800＝25054n－1，
∴an＝800＋25054n－1(n∈N*)．
由题意an≥4000，
∴800＋25054n－1≥4000，
即54n≥16，
∴nln54≥lg16，即n(1－3lg2)≥4lg2，
∵lg2＝0.3，∴0.1n≥1.2，故n≥12.
答：经过12年后，该项目资金可以翻两番．
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一、函数与方程的思想在数列中的应用
在数列中，数列本身就是一种函数．这种函数的定义域是N＋(或其子集)，从而表现在图像上就是孤立的点．数列具有单调性，如等差数列(除去公差为0的情况)，等比数列(如a1>0，q>1)．因此研究数列问题，可以类比函数的一些性质来研究，用运动变化的观点来研究，例如数列中求某项的范围问题，某个字母的范围问题、最值问题等就可以利用函数思想，转化成求函数值域问题，或解不等式．在等差、等比数列问题中，已知五个基本量中的几个，求另几个时，往往是设出基本量，建立方程或方程组来解决问题．但需注意数列看作函数时的定义域与一般函数定义域的区别．
[例1] 已知数列{an}的前n项和为Sn ，点(n，Sn)在函数f(x)＝2x－1的图像上，数列{bn}满足bn＝log2an－12(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)当数列{bn}的前n项和最小时，求n的值；
(3)设数列{bn}的前n项和为Tn ，求不等式Tn<bn的解集．
[分析] 先利用函数关系求出Sn的表达式，再依an与Sn关系求出an.进而求出bn、Tn，使问题解决．
[解析] 由题意得Sn＝2n－1.
(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1.
又∵a1＝1＝21－1，∴an＝2n－1.
(2)bn＝log2an－12＝log22n－1－12＝(n－1)－12＝n－13，
∴bn＝n－13，令bn≥0得n≥13，
∴数列{bn}的前12项均为负数，第13项为0，从第14项起均为正数，∴当n＝12或13时，数列{bn}的前n项和最小．
(3)∵bn＋1－bn＝1，∴数列{bn}为等差数列．
∴Tn＝nn－252<n－13，
整理得n2－27n＋26<0，解得1<n<26.
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[解析] 由已知得an＝Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn－2
＝(1＋1)n－2＝2n－2，
∴a8＝28－2＝256－2＝254，①正确；
an－an－1＝2n－2－2n－1＋2＝2n－1≠2n，②不正确；
∵Sn＝2－2＋22－2＋…＋2n－2＝21－2n1－2－2n＝2n＋1－2n－2，
∴S3＝24－6－2＝8≠22，③不正确，④正确．
∴①④正确．
三、解答题
12．已知数列{an}是公差d≠0的等差数列，记Sn为其前n项和．
(1)若a2、a3、a6依次成等比数列，求其公比q.
(2)若a1＝1，证明点P11，S11，P22，S22，…，Pnn，Snn(n∈N*)在同一条直线上，并写出此直线方程．
[解析] (1)∵a2、a3、a6依次成等比数列，
∴q＝a3a2＝a6a3＝a6－a3a3－a2＝3dd＝3，即公比q＝3.
(2)证明：∵Sn＝na1＋nn－12d，
∴Snn＝a1＋n－12d＝1＋n－12d.
∴点Pnn，Snn在直线y＝1＋x－12d上．
∴点P1，P2，…，Pn(n∈N*)都在过点(1,1)且斜率为d2的直线上．
此直线方程为y－1＝d2(x－1)．
13．(2010•福建文)数列{an}中，a1＝13.前n项和Sn满足Sn＋1－Sn＝(13)n＋1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn；
(2)若S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列，求实数t的值．
[解析] 本小题主要考查数列，等差数列，等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，化归与转化思想．
(1)由Sn＋1－Sn＝(13)n＋1得an＋1＝(13)n＋1(n∈N*)
又a1＝13，故an＝(13)n(n∈N*)
从而Sn＝13×[1－13n]1－13＝12[1－(13)n](n∈N*)
(2)由(1)可得S1＝13，S2＝49，S3＝1327
从而由S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列可得
13＋3×(49＋1327)＝2×(13＋49)t，解得t＝2.
14．(2010•湖北文)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房．
(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；
(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.15＝1.6)
[解析] 本小题主要考查阅读资料，提取信息，建立数学模型的能力，同时考查运用所学知识分析和解决实际问题的能力．
(1)第1年末的住房面积a•1110－b＝(1.1a－b)(m2)
第2年末的住房面积(a•1110－b)1110－b＝a(1110)2－b(1＋1110)＝(1.21a－2.1b)(m2)
(2)第3年末的住房面积
a11102－b1＋1110•1110－b
＝a•11103－b1＋1110＋11102
第4年末住房面积为：
a(1110)4－b1＋1110＋11102＋11103.
第5年末住房面积为：
a•(1110)5－b1＋1110＋11102＋11103＋11104＝1.6a－6b
依题意可得，1.6a－6b＝1.3a，解得b＝a20，所以每年拆除的旧房面积为a20(m2)．
15．某企业投资1000万元于一个高科技项目，每年可获利25%.由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg2＝0.3)
[解析] 设该企业逐年的项目资金依次为a1，a2，a3，…，an，则由已知an＋1＝an(1＋25%)－200(n∈N*)，即an＋1＝54an－200，
令an＋1－x＝54(an－x)，
即an＋1＝54an－14x，
由x4＝200，得x＝800，
∴an＋1－800＝54(an－800)(n∈N*)，
故{an－800}是以a1－800为首项，54为公比的等比数列．
∵a1＝1000(1＋25%)－200＝1050，
∴a1－800＝250
∴an－800＝25054n－1，
∴an＝800＋25054n－1(n∈N*)．
由题意an≥4000，
∴800＋25054n－1≥4000，
即54n≥16，
∴nln54≥lg16，即n(1－3lg2)≥4lg2，
∵lg2＝0.3，∴0.1n≥1.2，故n≥12.
答：经过12年后，该项目资金可以翻两番．
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一、函数与方程的思想在数列中的应用
在数列中，数列本身就是一种函数．这种函数的定义域是N＋(或其子集)，从而表现在图像上就是孤立的点．数列具有单调性，如等差数列(除去公差为0的情况)，等比数列(如a1>0，q>1)．因此研究数列问题，可以类比函数的一些性质来研究，用运动变化的观点来研究，例如数列中求某项的范围问题，某个字母的范围问题、最值问题等就可以利用函数思想，转化成求函数值域问题，或解不等式．在等差、等比数列问题中，已知五个基本量中的几个，求另几个时，往往是设出基本量，建立方程或方程组来解决问题．但需注意数列看作函数时的定义域与一般函数定义域的区别．
[例1] 已知数列{an}的前n项和为Sn ，点(n，Sn)在函数f(x)＝2x－1的图像上，数列{bn}满足bn＝log2an－12(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)当数列{bn}的前n项和最小时，求n的值；
(3)设数列{bn}的前n项和为Tn ，求不等式Tn<bn的解集．
[分析] 先利用函数关系求出Sn的表达式，再依an与Sn关系求出an.进而求出bn、Tn，使问题解决．
[解析] 由题意得Sn＝2n－1.
(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1.
又∵a1＝1＝21－1，∴an＝2n－1.
(2)bn＝log2an－12＝log22n－1－12＝(n－1)－12＝n－13，
∴bn＝n－13，令bn≥0得n≥13，
∴数列{bn}的前12项均为负数，第13项为0，从第14项起均为正数，∴当n＝12或13时，数列{bn}的前n项和最小．
(3)∵bn＋1－bn＝1，∴数列{bn}为等差数列．
∴Tn＝nn－252<n－13，
整理得n2－27n＋26<0，解得1<n<26.
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