减小字体
增大字体- ·上一篇试题：2012届高考数学第二轮不等式同步复习题及答案
- ·下一篇试题：2012届高三地理下册4月命题预测模拟试题
2012届高考数学第一轮章节复习考试题及答案
教案试题公文网WWw.jaSTgW.cOM免费资源教案、试题、公文、作文、幼儿教案、说课稿
∴Tn<bn的解集为{n|1<n<26，n∈N*}．
[例2] 设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S7＝21，S15＝－75，Tn为数列Snn的前n项和，求Tn的最大值．
[分析] 列方程组可求得Sn，继而求得Tn，把Tn看成关于自变量n的函数来求最大值即可．
[解析] 设等差数列{an}公差为d，则Sn＝na1＋12n(n－1)d.
∵S7＝21，S15＝－75，
∴7a1＋21d＝21，15a1＋105d＝－75，即a1＋3d＝3，a1＋7d＝－5，
解得a1＝9，d＝－2.
∴Sn＝na1＋nn－12d＝9n－(n2－n)＝10n－n2，
则Snn＝10－n，
∵Sn＋1n＋1－Snn＝－1，
∴数列Snn是以9为首项，公差为－1的等差数列．
则Tn＝n•[9＋10－n]2＝－12n2＋192n
＝－12n－1922＋3618.
∵n∈N*，∴当n＝9或n＝10时，Tn有最大值45.
二、分类整合思想在数列中的应用
分类整合思想在数列中的体现，主要是表现在对字母范围的讨论上．例如，涉及到等比数列前n项和问题时，需要对公比q进行讨论，在对公比q进行讨论时，除去q＝1，q≠1两种情况外，有时还需对0<q<1及q>1进行讨论，这需认真审题弄清题意，切实做到分类讨论时不漏不重，合情合理．已知Sn求an时，需对n＝1与n≥2两种情况进行讨论．最后需进行验证，能否将通项公式写为一个通式．若能，则写为一个通式；若不能，则需写成分段函数的形式．
[例3] 设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1,2，…)．
(1)求q的取值范围；
(2)设bn＝an＋2－32an＋1，记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn和Tn的大小．
[解析] (1)因为{an}是等比数列，Sn>0，
可得a1＝S1>0，q≠0.
当q＝1时，Sn＝na1>0；
当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q>0，∴1－qn1－q>0.
∴1－q<01－qn<0或1－q>01－qn>0.
∴－1<q<0或0<q<1或q>1.
综上所述，q>－1且q≠0.
(2)由bn＝an＋2－32an＋1得bn＝anq2－32q，
∴Tn＝q2－32qSn
∴Tn－Sn＝Snq2－32q－1＝Snq＋12(q－2)，
∴当－1<q<－12或q>2时，Tn>Sn；
当－12<q<2且q≠0时，Tn<Sn；
当q＝－12或q＝2时，Tn＝Sn.
三、转化思想在数列中的运用
在数列中，处处体现转化与化归的思想．例如，求a1、an、n、Sn、d、q时，往往是设出基本量，转化为解方程(组)问题；等差数列的单调性、前n项和最值问题可转化为解不等式组、二次函数或利用图像来解决；数列的求和问题往往转化为等差、等比数列的求和问题；求数列的通项公式、解数列应用题等都要进行相应的转化．
[例4] (2011•哈尔滨模拟)数列{an}中，a1＝57，an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝1an－1(n∈N*)．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求an；
(3)求数列{an}中的最大项与最小项．
[分析] (1)根据已知an与bn的关系式利用等差数列的定义证明．
(2)利用(1)的结论，数列{bn}是等差数列，确定其通项公式，根据已知an与bn的关系求解．
(3)利用(2)的结论，即求出的an的表达式，利用函数的单调性求解即可．
[解析] (1)证明：∵bn－bn－1＝1an－1－1an－1－1
＝12－1an－1－1－1an－1－1＝1(n≥2)．
∴{bn}是等差数列．
(2)∵{bn}是等差数列，首项b1＝1a1－1＝－72且公差为1，
∴bn＝－72＋(n－1)×1，即bn＝n－92，
∴1an－1＝n－92，an＝1n－92＋1＝2n－72n－9.
(3)∵an＝1n－92＋1，
而函数f(x)＝1x－92＋1在－∞，92，92，＋∞上都是减函数，
∴a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…，
且当n≤4时，an<1；当n>4时，an>1，
∴最大项为a5＝3，最小项为an＝－1.
四、定义的应用
深刻理解等差、等比数列的定义，能正确运用定义和等差、等比数列的性质，是学好本板块的关键．在正确理解定义的基础上，要认真分析等差数列、等比数列定义中所蕴含的各自的特点，不要被某些问题的表面现象所迷惑，特别是一些与定义有关的题目，可能会在关键词部位做手脚，使人产生错觉而出错．
[例5] 已知数列{an}的前n项和为Sn，又有数列{bn}，它们满足关系b1＝a1，对n∈N＋，有an＋Sn＝n，bn＋1＝an＋1－an.
求证：数列{bn}是等比数列，并写出它的通项公式．
[解析] 当n＝1时，a1＝S1，故a1＝b1＝12.
当n≥2时，an＋Sn＝n，an＋1＋Sn＋1＝n＋1，两式相减得2an＋1－an＝1①
将①中的n换为n－1，有
2an－an－1＝1②
由①－②得
2(an＋1－an)－(an－an－1)＝0(n≥2)，
即2bn＋1＝bn(n≥2)，
于是bn＋1bn＝12(n≥2)．
又由a2＋S2＝2，得a2＝34，b2＝a2－a1＝14，
于是b2b1＝12.所以 bn＋1bn＝12(n∈N＋)．
因此，数列{bn}是等比数列，公比q＝12，通项公式为bn＝12n(n∈N＋)．
来源于：教案试题公文网wwW.JAStGw.CoM免费下载使用
[例2] 设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S7＝21，S15＝－75，Tn为数列Snn的前n项和，求Tn的最大值．
[分析] 列方程组可求得Sn，继而求得Tn，把Tn看成关于自变量n的函数来求最大值即可．
[解析] 设等差数列{an}公差为d，则Sn＝na1＋12n(n－1)d.
∵S7＝21，S15＝－75，
∴7a1＋21d＝21，15a1＋105d＝－75，即a1＋3d＝3，a1＋7d＝－5，
解得a1＝9，d＝－2.
∴Sn＝na1＋nn－12d＝9n－(n2－n)＝10n－n2，
则Snn＝10－n，
∵Sn＋1n＋1－Snn＝－1，
∴数列Snn是以9为首项，公差为－1的等差数列．
则Tn＝n•[9＋10－n]2＝－12n2＋192n
＝－12n－1922＋3618.
∵n∈N*，∴当n＝9或n＝10时，Tn有最大值45.
二、分类整合思想在数列中的应用
分类整合思想在数列中的体现，主要是表现在对字母范围的讨论上．例如，涉及到等比数列前n项和问题时，需要对公比q进行讨论，在对公比q进行讨论时，除去q＝1，q≠1两种情况外，有时还需对0<q<1及q>1进行讨论，这需认真审题弄清题意，切实做到分类讨论时不漏不重，合情合理．已知Sn求an时，需对n＝1与n≥2两种情况进行讨论．最后需进行验证，能否将通项公式写为一个通式．若能，则写为一个通式；若不能，则需写成分段函数的形式．
[例3] 设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1,2，…)．
(1)求q的取值范围；
(2)设bn＝an＋2－32an＋1，记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn和Tn的大小．
[解析] (1)因为{an}是等比数列，Sn>0，
可得a1＝S1>0，q≠0.
当q＝1时，Sn＝na1>0；
当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q>0，∴1－qn1－q>0.
∴1－q<01－qn<0或1－q>01－qn>0.
∴－1<q<0或0<q<1或q>1.
综上所述，q>－1且q≠0.
(2)由bn＝an＋2－32an＋1得bn＝anq2－32q，
∴Tn＝q2－32qSn
∴Tn－Sn＝Snq2－32q－1＝Snq＋12(q－2)，
∴当－1<q<－12或q>2时，Tn>Sn；
当－12<q<2且q≠0时，Tn<Sn；
当q＝－12或q＝2时，Tn＝Sn.
三、转化思想在数列中的运用
在数列中，处处体现转化与化归的思想．例如，求a1、an、n、Sn、d、q时，往往是设出基本量，转化为解方程(组)问题；等差数列的单调性、前n项和最值问题可转化为解不等式组、二次函数或利用图像来解决；数列的求和问题往往转化为等差、等比数列的求和问题；求数列的通项公式、解数列应用题等都要进行相应的转化．
[例4] (2011•哈尔滨模拟)数列{an}中，a1＝57，an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝1an－1(n∈N*)．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求an；
(3)求数列{an}中的最大项与最小项．
[分析] (1)根据已知an与bn的关系式利用等差数列的定义证明．
(2)利用(1)的结论，数列{bn}是等差数列，确定其通项公式，根据已知an与bn的关系求解．
(3)利用(2)的结论，即求出的an的表达式，利用函数的单调性求解即可．
[解析] (1)证明：∵bn－bn－1＝1an－1－1an－1－1
＝12－1an－1－1－1an－1－1＝1(n≥2)．
∴{bn}是等差数列．
(2)∵{bn}是等差数列，首项b1＝1a1－1＝－72且公差为1，
∴bn＝－72＋(n－1)×1，即bn＝n－92，
∴1an－1＝n－92，an＝1n－92＋1＝2n－72n－9.
(3)∵an＝1n－92＋1，
而函数f(x)＝1x－92＋1在－∞，92，92，＋∞上都是减函数，
∴a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…，
且当n≤4时，an<1；当n>4时，an>1，
∴最大项为a5＝3，最小项为an＝－1.
四、定义的应用
深刻理解等差、等比数列的定义，能正确运用定义和等差、等比数列的性质，是学好本板块的关键．在正确理解定义的基础上，要认真分析等差数列、等比数列定义中所蕴含的各自的特点，不要被某些问题的表面现象所迷惑，特别是一些与定义有关的题目，可能会在关键词部位做手脚，使人产生错觉而出错．
[例5] 已知数列{an}的前n项和为Sn，又有数列{bn}，它们满足关系b1＝a1，对n∈N＋，有an＋Sn＝n，bn＋1＝an＋1－an.
求证：数列{bn}是等比数列，并写出它的通项公式．
[解析] 当n＝1时，a1＝S1，故a1＝b1＝12.
当n≥2时，an＋Sn＝n，an＋1＋Sn＋1＝n＋1，两式相减得2an＋1－an＝1①
将①中的n换为n－1，有
2an－an－1＝1②
由①－②得
2(an＋1－an)－(an－an－1)＝0(n≥2)，
即2bn＋1＝bn(n≥2)，
于是bn＋1bn＝12(n≥2)．
又由a2＋S2＝2，得a2＝34，b2＝a2－a1＝14，
于是b2b1＝12.所以 bn＋1bn＝12(n∈N＋)．
因此，数列{bn}是等比数列，公比q＝12，通项公式为bn＝12n(n∈N＋)．
来源于：教案试题公文网wwW.JAStGw.CoM免费下载使用
