整式加减中的精彩呈现

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整式加减中的精彩呈现
张泽秀
整式加减是初中代数中的主要章节之一,其中合并同类项、去括号法则是解方程和多项式化简求值的重要手段,整体代换,判断无关性也是整式加减中的亮点题类,现略举几例：
    一．解决无关型问题.
例1.有一道题：计算
 （-4 +2 -8 ）-（  -2 ）,
其中 = , =2009.小毕把“ =2009”错抄成“ =-2009”,但他的计算结果却是正确的,你能说明这是怎么回事吗？
解：原式=- +  -2 -  +2
       =- ,
显然,本题化简后的结果与 的值无关,所以小毕虽把“ =2009”错抄成“ =-2009”,但他的计算结果仍然是正确的.
例2.若多项式
（2 +  - + ）－（2 -3 +5 －1）,
的值与字母 所取的值无关,求 和 的值.
分析：所给多项式与 无关,即化简后不含关于 的项.
解：原式= 2 +  - + -2 +3 -5 +1
       =（2－2 ） +（ +3） －6 +1.
由条件知必有2－2 =0,  +3=0,所以 =1,  =－3.
练习：已知
 =2 +3  －2 －1, =－ +  －1.
⑴求3 +  .
⑵若3 +6 的值与 的值无关,求 .
二．整体代换求值问题.
例3、已知 + =3,  × =－2,求（3 －4 +2 ）－（2 －5 +5 ）的值.
分析：有已知条件,目前无法求出 和 的值,通过观察可知,将待求式子进行化简变形,使之与条件对接,从而可以通过整体代入求解.
解：（3 －4 +2 ）－（2 －5 +5 ）
   = 3 －4 +2 －2 +5 －5
   =（ + ）－3 .
因为 + =3,  × =－2,所以,
原式=3－3×（－2）=9.
练习：
1. 已知 + =10,  =－2,求（3 －2 ）－（－5 +  ）的值.
2. 已知 - -1=0,求-4 +4 +9的值.
3. 已知当 =2时,代数式  +  +1的值等于2009,求当 =-2时,代数式
  +  +2010的值.
三． 新定义运算题问题.
例4．在有理数原有法则中,我们补充定义新运算“ ”如下：
当   时,    = ；当 < 时,    = .
则当 =2时,求（1  ）• -（3  ）的值,其中“•”和“－”仍为有理数运算中的乘号和减号.
分析：解题的关键是读懂新的运算法则,将新的定义运算法则转化为熟悉的加减乘除运算.
解：当 =2时有1< , <3,所以
原式=（1 2）•2-（3 2）
 = 2×1-4
 = －2
练习：小李在电脑中设计了一个有理数的运算程序,输入数 ,加 键输入数 ,得到运算
   = －2（3 － ）÷（ － ）.
求（－ ） 2的值.
四． 探索和表达规律问题.
例5．观察下列式子：
1×3=3, 3×5=15, 5×7=35,……,
你发现了什么规律,请用含 的式子表示出来.
分析：我们把上述的式子改写为
1×3= －1, 3×5= －1, 5×7= －1,……
解：所发现的规律为
（2 －1）（2 +1）=（2 ） －1,
其中 为正整数.验证当 =3时, （2×3－1）（2×3+1）=（2×3） －1=35.

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